Aksiyomların, bireysel bilimsel işçiler tarafından kabul edilen ve seçilen varsayımlar olduğu kesinlikle bir gerçek ama sadece yüzeysel bir şeydir. Daha etkileyici bir düşünce, bilimsel aksiyomların günlük düşüncenin varsayımları ile sürekli olmasına rağmen, entelektüel ve bilimsel çalışmaları sürdürmek için gerekli faktörlerdir. İşçinin bildiği veya bilmediği bir entelektüel çalışma, aksiyomların temel varsayımlar olarak işlenmeden bir yorumlama ve açıklama sistemine düzenlenebilir. Kayda değer bir anlamda bilimsel çalışma, büyük ölçüde, çalışmayı yönlendiren varsayımların kasıtlı olarak dahil edilmesinin ölçüsü olarak anlamını ve önemini elde eder.

Bir bilgi birikimi olgunluk seviyesine ulaştığında, genellikle resmileştirilir (çoğu zaman yapay, sembolik bir dilde) ve aksiyomize olur.

Aksiyomlaştırma, teorinin belirli ifadelerinin, türetme kuralları vasıtasıyla, diğer teoremlerin elde edilebileceği 'aksiyomlar' olarak etiketlenmesi ile başlar. Aksiyomların seçimi pragmatik düşüncelerle motive edilir (sadelik, şıklık, bağımsızlık, tutarlılık ve benzeri).

Aksiyomlar ve gerçek arasındaki ilişkiyle ilgili olarak, cevap aksiyomatik sistemin yorumlanıp yorumlanmamasına bağlıdır. Aksiyomatik sistem yorumlanırsa (örneğin, Öklid geometrisi), aksiyomlarının doğru olduğu varsayılır. Bununla birlikte, eğer aksiyomatik sistem yorumlanmadan bırakılırsa (örneğin, Hilbert'in geometrilerinden biri), doğruluk sorunu (ve hatta anlamı) sadece aksiyomlar için değil, sistemin tüm türevlenebilir formülleri için pencereden dışarı çıkar. Bu son durumda, ifadelerin anlamları aksiyomlar tarafından dolaylı olarak tanımlanmış veya yakalanmış olarak düşünülebilir, ancak istenmeyen çıkarımlar yapmaktan kaçınmak için bu tür sistemlerle uğraşırken anlamlardan bahsetmekten kaçınmak akıllıca olacaktır.

Bir aksiyom, diğer ifadeleri çıkarmak için kullandığınız biçimsel mantık ifadesidir. Bu anlamda, bir şeyi anlamak için kullanabileceğiniz herhangi bir ifade bir aksiyomdur.

Ancak genellikle bunu isteyen insanlar, "Doğal bir aksiyom nedir?" Matematiği bulmak için kullanabileceğiniz aksiyomları nasıl kurduğunuzu bilmek istiyorlar. Buradaki tek makul cevap Hilbert'in programı aracılığıyla, hesaplama açısından anlamlı olan aksiyomlar yapıyorsunuz ve bunu araştırmak için ilginç bulduğunuz diğer aksiyom sistemlerinin tutarlılığını oluşturmak için kullanıyorsunuz.

Hilbert'i üretmenin yolu, Peano Aritmetik ya da İlkel Özyinelemeli Aritmetik gibi bazı belirgin aksiyomlarla başlamak, burada aksiyomların açık bir sezgisel gerekçeye sahip olması ve sonra da "Bu teori tutarlı" ifadesini yineleyerek yeni aksiyomlar üretmektir. tekrar tekrar ve tekrar tekrar yaptığınız teoriler üzerine.

Yineleme işlemi sıralılar tarafından indekslenir, tamsayılar tarafından değil - sınır aşamalarında bir birlik kurabilirsiniz. Hesaplanabilir sıralar üzerinde bu Godel yineleme işlemini yaparak, tüm tutarlı matematik sistemlerini tüketirsiniz. Bu Turing'in 1938 tezi konusudur. Sonunda verilen herhangi bir matematiksel sistemin tutarlı olduğunu kanıtlayacaksınız.

Algoritmik olmayan şey, daha büyük ve daha büyük hesaplanabilir sıraları adlandırmaktır ve bu, sabit bir bilgisayar programı ile yapamayacağınız bir şeydir. Bu konuda çok çalışmalısın. Fakat sıralı sistem, PRA'nın yanı sıra epsilon naught adlı bir sıradan Peano Aritmetiğini tutarlılığına dair kanıtlar üretiyor ve daha büyük hesaplanabilir sıra oluşturma yöntemleriyle daha yeni olan Kripke-Platek küme teorisinin tutarlılığını kanıtlıyor; güç ayarı işlemi. Henüz sayılabilir ZFC veya ZFC yapamayız, ama bu açıkça bir sonraki adımdır ve bu geleneksel Hilbert programının tamamlanması olacaktır.

Bana göre, kabul edilebilir bir aksiyom, bazı hesaplanabilir sıraların iyi kurulduğu iddiasıdır. Diğer her aksiyom sisteminin bu formun bir aksiyomundan kanıtlanması gerekir.