Peano aritmetiği, N doğal sayıları ve özellikleri üzerindeki aritmetik işlemlerini resmileştiren bir teoridir. Bir birinci dereceden Peano aritmetiği ve ikinci dereceden bir Peano aritmetiği vardır ve bir yüksek dereceli tip teoride Peano aritmetiğinden söz edilebilir.

Birinci dereceden mantık, ikinci dereceden mantığa göre belirli bir sözdizimsel ve model-teorik avantajlara sahip olduğundan ve daha da geliştirildiğinden, Peano aritmetiğinin varsayılan nosyonu genellikle birinci mertebedendir. Bununla birlikte, hem birinci hem de ikinci dereceden kavramları açıklayacağız. Peano’nun orijinal tedavisinin ikinci derece olduğuna dikkat edin.