@endofminimaks teoremi, iki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda her oyuncunun kendine garanti edebileceği en iyi sonucun aslında aynı sayıda buluştuğunu söyleyen sonuç. john von neumann 1928'de 'zur theorie der gesellschaftsspiele' başlıklı makalesinde kanıtladı. oyunculardan biri kendi açısından en kötü ihtimali olabildiğince yükseğe çekmeye çalışır, buna maksimin denir. öteki ise rakibine bırakabileceği en iyi ihtimali olabildiğince aşağı çekmeye çalışır, bu da minimakstır. teorem, oyunculara karma strateji kullanma izni verildiğinde bu iki değerin eşit olduğunu gösterir ve bu ortak sayıya oyunun değeri denir. iki taraf da ihtiyatlı oynarsa sürpriz kalmaz; optimal karışımı oynayan bir oyuncuya karşı rakip, bu karışımı bilse bile oyunun değerinden fazlasını koparamaz.
fransız matematikçi émile borel 1920'lerin başında karışık stratejileri tartışmış ama böyle bir sonucun genel olarak doğru olup olmadığından emin olamamıştı. von neumann soruyu kapattı ve 1944'te oskar morgenstern ile yazdığı kitapta teoremi oyun teorisinin temeline koydu.
sayılı bir örnek. ayşe ve kerem aynı anda birer parayı yazı ya da tura yüzüyle gösteriyor. aynı yüzü gösterirlerse kerem ayşe'ye 1 lira veriyor, farklı gösterirlerse ayşe kerem'e 1 lira veriyor. ayşe hep yazı gösterirse kerem bunu fark edip hep tura der ve ayşe sürekli kaybeder; saf hamlelerle ayşe'nin garanti edebildiği sonuç eksi 1 liradır. ama ayşe yarı yarıya karıştırırsa kerem ne yaparsa yapsın ayşe'nin beklenen kazancı sıfırdır. kerem de yarı yarıya karıştırınca ayşe ne yaparsa yapsın sıfırı geçemez. iki tarafın garantisi sıfırda buluşuyor, oyunun değeri sıfır. bu durumda minimaks çözümü ile nash dengesi aynı şeydir.
yazılımcı olarak teoremle ilk tanışmam üniversitede bir satranç motoru yazmaya çalışırken oldu. claude shannon'ın 1950'deki makalesinden beri bilgisayarlar oyun ağacında sıra kendindeyken en yüksek, rakipteyken en düşük değeri seçerek ilerler; alfa beta budaması bu aramayı hızlandırır. bu arama algoritması teoremin kendisi değil, onun saf hamleli ve sıralı haline dayanır ve aslında ağacın yapraklarından köke doğru bir geriye doğru çıkarsamadır. yapay zekada fikir başka yerlerde de çıkıyor. üretken çekişmeli ağlar 2014'te üretici ile ayırt edici arasında bir minimaks oyunu olarak tanımlandı. saldırılara dayanıklı modeller eğitilirken de model, saldırganın seçebileceği en kötü bozulmaya karşı kaybını en aza indirmeye çalışır.
iş dünyasında saf sıfır toplamlı durum azdır, ama minimaks bakışı risk yönetiminde işe yarar. pazar payı kavgasında rakibin seni en çok zorlayacak hamlesine karşı en sağlam stratejiyi aramak, siber güvenlikte saldırganın en iyi hamlesine karşı açığını en aza indirmek bu düşüncenin uygulamalarıdır.
en sık yanlış anlama teoremi her oyuna genellemek. minimaks teoremi iki kişilik ve sıfır toplamlı oyunlar için geçerlidir. kazançların toplamının değiştiği, mahkum ikilemi ya da geyik avı gibi işbirliğinin mümkün olduğu oyunlarda yalnızca en kötüye karşı oynamak çoğu zaman masada para bırakmak demektir. ikinci yanılgı, minimaks stratejisini rakibi yenmenin en iyi yolu sanmaktır. aslında o en kötüye karşı bir sigortadır; rakip zayıf ve öngörülebilirse onun hatasını sömüren bir strateji daha fazla kazandırır, ama bu kez siz sömürülmeye açık hale gelirsiniz. teoremin güzel bir yan ürünü de doğrusal programlamadaki dualite ile akrabalığıdır; george dantzig'in anlattığına göre von neumann bu bağı 1947'deki görüşmelerinde hemen fark etmişti.
fransız matematikçi émile borel 1920'lerin başında karışık stratejileri tartışmış ama böyle bir sonucun genel olarak doğru olup olmadığından emin olamamıştı. von neumann soruyu kapattı ve 1944'te oskar morgenstern ile yazdığı kitapta teoremi oyun teorisinin temeline koydu.
sayılı bir örnek. ayşe ve kerem aynı anda birer parayı yazı ya da tura yüzüyle gösteriyor. aynı yüzü gösterirlerse kerem ayşe'ye 1 lira veriyor, farklı gösterirlerse ayşe kerem'e 1 lira veriyor. ayşe hep yazı gösterirse kerem bunu fark edip hep tura der ve ayşe sürekli kaybeder; saf hamlelerle ayşe'nin garanti edebildiği sonuç eksi 1 liradır. ama ayşe yarı yarıya karıştırırsa kerem ne yaparsa yapsın ayşe'nin beklenen kazancı sıfırdır. kerem de yarı yarıya karıştırınca ayşe ne yaparsa yapsın sıfırı geçemez. iki tarafın garantisi sıfırda buluşuyor, oyunun değeri sıfır. bu durumda minimaks çözümü ile nash dengesi aynı şeydir.
yazılımcı olarak teoremle ilk tanışmam üniversitede bir satranç motoru yazmaya çalışırken oldu. claude shannon'ın 1950'deki makalesinden beri bilgisayarlar oyun ağacında sıra kendindeyken en yüksek, rakipteyken en düşük değeri seçerek ilerler; alfa beta budaması bu aramayı hızlandırır. bu arama algoritması teoremin kendisi değil, onun saf hamleli ve sıralı haline dayanır ve aslında ağacın yapraklarından köke doğru bir geriye doğru çıkarsamadır. yapay zekada fikir başka yerlerde de çıkıyor. üretken çekişmeli ağlar 2014'te üretici ile ayırt edici arasında bir minimaks oyunu olarak tanımlandı. saldırılara dayanıklı modeller eğitilirken de model, saldırganın seçebileceği en kötü bozulmaya karşı kaybını en aza indirmeye çalışır.
iş dünyasında saf sıfır toplamlı durum azdır, ama minimaks bakışı risk yönetiminde işe yarar. pazar payı kavgasında rakibin seni en çok zorlayacak hamlesine karşı en sağlam stratejiyi aramak, siber güvenlikte saldırganın en iyi hamlesine karşı açığını en aza indirmek bu düşüncenin uygulamalarıdır.
en sık yanlış anlama teoremi her oyuna genellemek. minimaks teoremi iki kişilik ve sıfır toplamlı oyunlar için geçerlidir. kazançların toplamının değiştiği, mahkum ikilemi ya da geyik avı gibi işbirliğinin mümkün olduğu oyunlarda yalnızca en kötüye karşı oynamak çoğu zaman masada para bırakmak demektir. ikinci yanılgı, minimaks stratejisini rakibi yenmenin en iyi yolu sanmaktır. aslında o en kötüye karşı bir sigortadır; rakip zayıf ve öngörülebilirse onun hatasını sömüren bir strateji daha fazla kazandırır, ama bu kez siz sömürülmeye açık hale gelirsiniz. teoremin güzel bir yan ürünü de doğrusal programlamadaki dualite ile akrabalığıdır; george dantzig'in anlattığına göre von neumann bu bağı 1947'deki görüşmelerinde hemen fark etmişti.